希腊几何时间?

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我来简单介绍一下这个“悖论”,它出自著名的《柏拉图选集》(第二卷《蒂迈欧篇》)中的一个故事,讲的是毕达哥拉斯学派的一个弟子跟老师说他们做了一个梦(关于数学的),然后老师让他们把这个梦中的数学问题用文字描述出来并加以证明。 这个学生的证明大致是这样的:假设圆周率是3(其实这是错误的,但这个问题讨论的是“怎么证明”而不是“是不是正确”所以不必深究),然后把圆分为若干等份,再把每个扇形切成一定数量的小三角形,这样就把整个圆变成了许多三角形的面积。如果把这些三角形的面积相加再除以2,那就得到了那个半圆的面积;而那个半圆的面积加上那个被切成了好多块儿的整园的面积,就得到了整个园(也就是圆周率)的面积。 这就是这个“悖论”的大致内容。

古往今来的数学家都试图证明这个定理但无一成功,这也是它的著名之处,被称为“数学史上的一个奇迹”。 下面我来谈谈为什么这个定理是无法证明的。

首先,这个学生证明过程中的错误是很明显的:把圆分成多少份,这并不影响最后的结果。因为不管你怎么分,最终这些三角形面积的总和永远是小于这个圆面积的。这一点似乎没什么好说的。问题是这个学生误认为圆面积等于这个半圆加那个被切了好多块的整园面积的和。之所以产生这种感觉是因为他误以为这些三角形加起来是有余量的——事实上这些三角形只要全部放在一条直线上,它们两两重叠部分绝对比一个整圆的面积还小!(这里为了表述方便把每个扇形切得三角形的个数设为n) 要想证明这个结论是不可能的。

不过,虽然这个结论无法通过证明得到,但它却是可以通过作图得到的(作图法在证明一些选择题和填空题时是很好的方法,但在这儿显然不能直接使用)。具体做法是这样的:先做出两个全等的等腰直角三角形,斜边长度为1(为了表示方便这里把原来的园去掉了),一挺一竖的那个角顶点作为整个图形的一个端点,另一个底边的顶点作为第二个端点。然后把这两个等腰直角三角形分别左右平移,使它们的第一个顶点与原点的距离都为1/2。接下来把这个图形绕着第一个顶点旋转90°,这时第二个顶点到新坐标原点的距离就变成了1/3. 最后,在新坐标系中作出y=x²的函数图像。你会发现这幅图有两个特点:一是它是一个平面区域(这点很重要)二是无论怎样改变x的值,这个函数永远比1小。这就说明,不论怎么划分这个圆,经过怎样的加法运算,最后结果永远比这个圆的面积要小。

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